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物理习题详解(完整版)
编排说明:按”章—题号”排列,共 32 题。 每题分两部分: 【分析】 —— 完整的思路与方法讲解; 【解答】 —— 可直接写在答题卡上的规范完整过程。 取重力加速度 (题目另有说明者除外)。
第一章 质点运动学
1-8 由运动方程求轨迹、位移与路程
题目:已知质点的运动方程为 ($\boldsymbol r$ 单位 m,$t$ 单位 s)。求:(1) 质点轨迹;(2) 及 s 时的位矢;(3) 到 s 的位移 和径向增量 ;(4) 2 s 内经过的路程 。
【分析】 分量式 。消去 得轨迹方程。位矢直接代入时刻即可。位移 是两端点位矢之差(矢量),而”径向增量 “指位矢长度的变化 ,二者概念不同,是本题易错点。路程要对速率积分 ,不能用位移代替。
【解答】 $x=2t,\quad y=2-t^2$
(1) 由 代入:$\ \boxed{y=2-\dfrac{x^2}{4}}$(抛物线)。
(2)
(3) 位移 $$\Delta\boldsymbol r=\boldsymbol r2-\boldsymbol r0=4\boldsymbol i-4\boldsymbol j\ \text{m},\quad |\Delta\boldsymbol r|=4\sqrt2\approx5.66\ \text{m}$$ 径向增量 $$\Delta r=|\boldsymbol r2|-|\boldsymbol r0|=\sqrt{4^2+2^2}-2=2\sqrt5-2\approx2.47\ \text{m}$$
(4) $$s=\int0^2 2\sqrt{1+t^2},\mathrm dt=\Big[t\sqrt{1+t^2}+\ln(t+\sqrt{1+t^2})\Big]0^2=2\sqrt5+\ln(2+\sqrt5)\approx5.92\ \text{m}$$
1-23 飞机水平投物(平抛)
题目:飞机以 m/s 沿水平直线飞行,离地 m 时投物到前方地面目标。求:(1) 目标在前方多远?(2) 投放时驾驶员看目标视线与水平线夹角?(3) 投出 s 后物品的法向、切向加速度。
【分析】 脱离飞机后物品做平抛:水平匀速、竖直自由落体。先由竖直方向落地时间求水平射程。视线角由竖直高度与水平距离之比的反正切给出。第(3)问的关键:物品加速度恒为 (竖直向下),把它沿速度方向(切向)和垂直速度方向(法向)分解,$at=g\sin\alpha$,$an=g\cos\alpha$,$\alpha$ 为速度与水平方向夹角。
【解答】 (1) 落地时间 水平射程
(2) (视线在水平线下方)
(3) s 时:$vx=100,\ vy=gt=19.6\ \text{m/s}$ $$v=\sqrt{vx^2+vy^2}=101.9\ \text{m/s},\quad \sin\alpha=\frac{vy}{v}=0.192$$ $$at=g\sin\alpha=9.8\times0.192\approx1.88\ \text{m/s}^2$$ $$an=g\cos\alpha=\sqrt{g^2-at^2}\approx9.62\ \text{m/s}^2$$
1-24 圆周变速运动的加速度
题目:质点沿半径 圆周按 运动($v_0,b$ 为常量)。求:(1) 时刻总加速度;(2) 为何值时总加速度数值等于 ;(3) 此时已运行多少圈。
【分析】 $s$ 是弧长(自然坐标)。速率 ,切向加速度 (这里恒为 ),法向加速度 。总加速度 。当 时必有 ,即 (恰好停下)。
【解答】 $v=v0-bt,\quad at=-b,\quad an=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{(v0-bt)^2}{R}$
(1)
(2) 令 :$\ b^2=b^2+\dfrac{(v0-bt)^4}{R^2}\Rightarrow v0-bt=0\Rightarrow \boxed{t=\dfrac{v_0}{b}}$
(3) 此时弧长 圈数
1-26 角位置给定的圆周运动
题目:质点在半径 m 圆周上运动,$\theta=2+4t^3$(rad,s)。求:(1) s 时法向、切向加速度;(2) 切向加速度恰为总加速度一半时 值;(3) 为何值时法向与切向加速度相等。
【分析】 由 求角速度 、角加速度 。则 ,$an=R\omega^2$。第(2)问由 $at=\frac12a$ 得 的关系,再解 ,回代求 。第(3)问令 。
【解答】 $\omega=12t^2,\quad \beta=24t$ $at=R\beta=0.10\times24t=2.4t,\qquad an=R\omega^2=0.10\times144t^4=14.4t^4$
(1) s:$\ at=4.8\ \text{m/s}^2,\quad an=230.4\ \text{m/s}^2$
(2) $$14.4t^4=\sqrt3\times2.4t\Rightarrow t^3=\frac{\sqrt3\times2.4}{14.4}=0.289\Rightarrow t=0.661\ \text{s}$$ $$\theta=2+4t^3=2+4(0.289)\approx\boxed{3.15\ \text{rad}}$$
(3)
第二章 牛顿运动定律
2-12 火车转弯的外轨超高
题目:质量 的火车以速率 沿半径 圆弧转弯,路面倾角 。求:(1) 速率 为多大时内外轨侧压力均为零?(2) 若 ,车轮对铁轨的侧压力多大?
【分析】 侧压力为零时,只有重力 和垂直路面的支持力 ,二者合力恰好提供水平向心力。把 分解到水平、竖直方向列方程即得 。当 时,需引入沿路面方向的侧向力 (轨道对轮的横向力),同样按水平/竖直分解联立求解。
【解答】 (1) 侧压力为零时: 水平:$N\sin\theta=\dfrac{mv0^2}{R}$;竖直:$N\cos\theta=mg$ 两式相除:$\tan\theta=\dfrac{v0^2}{gR}\Rightarrow \boxed{v_0=\sqrt{gR\tan\theta}}$
(2) 设路面对车轮侧向力为 (沿斜面)。按水平、竖直分解联立: $$N\sin\theta+Q\cos\theta=\frac{mv^2}{R},\qquad N\cos\theta-Q\sin\theta=mg$$ 解得 $$Q=m\left(\frac{v^2}{R}\cos\theta-g\sin\theta\right)=\frac{m\cos\theta}{R},(v^2-v0^2)$$ 即车轮对铁轨的侧压力大小为 $\dfrac{m\cos\theta}{R}|v^2-v0^2|$。$v>v0$ 压外轨,$v<v0$ 压内轨。($v=v_0$ 时 ,与(1)一致。)
2-14 飞车走壁(螺旋运动)
题目:演员与摩托车总质量 ,在半径 的圆筒内壁上以速率 作匀速螺旋运动,每绕一周上升 。求壁对演员和摩托车的作用力。
【分析】 壁的作用力含两部分:水平指向轴心的法向支持力 (提供水平圆周运动的向心力)与沿壁面竖直向上的摩擦力 (平衡重力)。匀速螺旋时,速度沿螺旋线,需把它分解为水平分量 (圆周运动用)和竖直分量 (匀速上升),螺距角满足 。由于竖直方向匀速,$f=mg$。
【解答】 螺距角 :$\cos\alpha=\dfrac{2\pi R}{\sqrt{(2\pi R)^2+h^2}}$,水平速率 。
向心方向(水平): $$N=\frac{mv_h^2}{R}=\frac{mv^2\cos^2\alpha}{R}=\frac{4\pi^2 R,mv^2}{4\pi^2R^2+h^2}$$ 竖直方向(匀速上升):$\ f=mg$
壁的合力大小 $$\boxed{F=\sqrt{N^2+(mg)^2}=\sqrt{\left(\frac{4\pi^2Rmv^2}{4\pi^2R^2+h^2}\right)^2+(mg)^2}}$$ 方向:$N$ 水平指向轴心、$f$ 竖直向上的合成方向。
2-21 圆环内侧的减速运动
题目:光滑水平桌面上固定半径 圆环,物体紧贴环内侧运动,与环摩擦因数 ,初速率 。求:(1) 时刻速率;(2) 速率由 减到 经历的时间和路程。
【分析】 桌面光滑,唯一摩擦来自环壁。环壁法向支持力 提供向心力 ,则切向摩擦 使物体减速。求时间用 (对 积分);求路程改用 (对 积分),这是变力问题选积分变量的技巧。
【解答】 $N=\dfrac{mv^2}{R},\quad f=\mu N=\dfrac{\mu mv^2}{R}$
(1) $$\boxed{v=\frac{v0R}{R+\mu v0 t}}$$
(2) 令 :$\ R+\mu v0t=2R\Rightarrow \boxed{t=\dfrac{R}{\mu v0}}$ 路程:$m v\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm ds}=-\dfrac{\mu mv^2}{R}\Rightarrow \dfrac{\mathrm dv}{v}=-\dfrac{\mu}{R}\mathrm ds$ $$\ln\frac{v0/2}{v0}=-\frac{\mu}{R}s\Rightarrow \boxed{s=\frac{R\ln2}{\mu}}$$
2-24 竖直上抛(阻力 )
题目:物体自地面以 竖直上抛,空气阻力 。求:(1) 上升高度;(2) 落回地面时速度。
【分析】 上升段阻力与重力同向(均向下),下降段阻力向上、重力向下,两段方程不同,须分段。用 把时间换成位移积分。上升到顶 得最大高度 ;下降时再积分至落地,注意末速度小于 (有能量耗散)。
【解答】 (1) 上升:$mv\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=-mg-kmv^2$ $$\int{v0}^0\frac{v,\mathrm dv}{g+kv^2}=-\int0^H\mathrm dx\Rightarrow \boxed{H=\frac{1}{2k}\ln!\left(1+\frac{kv0^2}{g}\right)}$$
(2) 下降(向下为正):$mv\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=mg-kmv^2$ $$\int0^v\frac{v,\mathrm dv}{g-kv^2}=\int0^H\mathrm dx=H$$ 代入 并整理: $$\boxed{v=v0\sqrt{\frac{g}{g+kv0^2}}}\quad(<v_0)$$
第三章 动量守恒与能量守恒
3-21 子弹打入木块(功与能)
题目:$m=5.6,$g 子弹以 m/s 水平射入静止木块 kg,一同前移 cm 停止。求:(1) 木块与地面摩擦因数;(2) 木块对子弹做的功 ;(3) 子弹对木块做的功 ;(4) 是否相等,为什么?
【分析】 分两段:① 嵌入瞬间(极短,地面摩擦可略),动量守恒求共同速度 ;② 一同滑行,动能全被地面摩擦消耗,求 。$W1$ 是子弹被木块阻力做的功 = 子弹动能变化(嵌入段,$v0!\to!v$);$W2$ 是子弹推木块做的功 = 木块动能增量($0!\to!v$)。两者作用力等大反向(牛顿第三定律),但子弹位移远大于木块位移,故 $|W1|\neq W_2$,差值即碰撞产生的热。
【解答】 嵌入段动量守恒:$mv_0=(m+m’)v$ $$v=\frac{0.0056\times501}{2.0056}=1.40\ \text{m/s}$$
(1)
(2)
(3)
(4) 不相等。两力等大反向,但子弹相对地面位移远大于木块位移,故 。差值 恰为碰撞损失的机械能(转化为热)。
3-25 粗糙面上的圆周运动(摩擦做功)
题目:质量 质点系于绳端,在粗糙水平面上作半径 圆周运动,初速率 ,转一周后速率为 。求:(1) 摩擦力做的功;(2) 动摩擦因数;(3) 静止前共转多少圈。
【分析】 绳张力沿半径,不做功;做功的只有摩擦力。一周的摩擦功 = 动能变化。摩擦力 (法向力为 ),一周路程为 ,由此求 。总路程由总动能除以摩擦力得到,再除周长得圈数。
【解答】 (1)
(2) $$\boxed{\mu=\frac{3v_0^2}{16\pi gr}}$$
(3) 总路程 :$\frac12mv0^2=\mu mg,S\Rightarrow S=\dfrac{v0^2}{2\mu g}=\dfrac{8\pi r}{3}$ 圈数
3-29 人造卫星的能量
题目:质量 卫星沿半径 圆轨道运动,地球半径 、质量 。求:(1) 动能;(2) 引力势能;(3) 机械能。
【分析】 圆轨道上万有引力提供向心力,得 ,代入动能公式。引力势能取无穷远为零,$Ep=-GmE m/r$。机械能为二者之和,对束缚轨道为负值,且 (圆轨道的普遍关系)。
【解答】 $r=3RE$,由 $\dfrac{GmEm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}$ 得 。
(1)
(2)
(3)
3-36 两车斜碰(动量守恒)
题目:$mA=300,$kg 沿一方向、$mB=400,$kg 沿与之垂直方向,均以 m/s 驶向路口,相撞后缠在一起沿 方向驶出。求:(1) 碰后共同速度大小和方向;(2) 损耗的能量。
【分析】 两车初速度互相垂直,设 A 沿 、B 沿 。完全非弹性碰撞,动量分量分别守恒求出末速度分量,再合成求大小与方向 。损耗能量 = 碰前总动能 − 碰后总动能。
【解答】 取 A 方向为 、B 方向为 。 $$Vx=\frac{mAv}{mA+mB}=\frac{300\times14}{700}=6\ \text{m/s},\quad V_y=\frac{400\times14}{700}=8\ \text{m/s}$$
(1) ,方向 (与 A 行驶方向夹角)。
(2) $Ek=\frac12(700)(10^2)=3.50\times10^4\ \text{J}$ $$\Delta E=E{k0}-E_k=\boxed{3.36\times10^4\ \text{J}}$$
第四章 刚体转动和流体运动
4-22 子弹射入可转动木杆
题目:光滑水平面上木杆 kg、长 cm,可绕过中点的竖直轴转动。子弹 g 以 m/s 垂直射入杆端并陷入,求所得角速度。
【分析】 子弹打杆是绕轴的碰撞,外力(轴的约束力)过轴不产生力矩,对轴角动量守恒。碰前角动量为子弹的 ;碰后为(杆 + 嵌入子弹)整体转动 ,其中杆绕中点 ,子弹在杆端 。
【解答】 $$m2v\frac l2=\left[\frac1{12}m1l^2+m_2\left(\frac l2\right)^2\right]\omega$$ $$\omega=\frac{0.010\times200\times0.20}{\frac1{12}(1.0)(0.40)^2+0.010(0.20)^2}=\frac{0.40}{0.01373}\approx\boxed{29\ \text{rad/s}}$$
4-28 蜘蛛落到转台上
题目:转台质量 、半径 ,初角速度 ,轴摩擦不计。(1) 蜘蛛 竖直落到台边缘,求 ;(2) 蜘蛛爬到离心 处,求 。
【分析】 竖直下落对竖直轴无角动量,落台与爬行均为系统内部过程,全程对轴角动量守恒,恒等于初值 。蜘蛛视为质点,转动惯量随其离轴距离 变化,故角速度随 改变。
【解答】 转台 。
(1)
(2)
4-32 绳拉小球缩小圆周
题目:小球 在光滑水平面以 作半径 圆周运动,绳另一端竖直下拉使半径变为 。求:(1) 新角速度;(2) 拉力做的功。
【分析】 拉力沿绳指向圆心,对轴力矩为零,角动量守恒,由此求新角速度。拉力做功不能用 ($F$ 变化),用动能定理:功等于动能增量。
【解答】 (1)
(2) $$W=\frac12mv^2-\frac12mv0^2=\frac12m\big[(2\omega0r0)^2-(\omega0r0)^2\big]=\boxed{\frac32m\omega0^2r_0^2}$$
4-37 小球在可转动圆环内下滑
题目:空心圆环绕竖直轴 自由转动,转动惯量 、半径 、初角速度 。小球 静止于顶点 (轴上),受扰动沿光滑内壁下滑。求到 (侧面,离轴 ,与心同高)、$C$(底部,轴上)时环的角速度和小球相对环的速度。
【分析】 两条守恒:① 对竖直轴角动量守恒(内壁光滑、轴无摩擦,小球在轴上时贡献为零,故系统角动量恒为 );② 机械能守恒。小球速度含两部分——随环转动的水平分量 与沿环下滑的相对分量 ,二者垂直,动能须分开计。
【解答】 到 (离轴 ,下降 ): 角动量:$J0\omega0=(J0+mR^2)\omegaB\Rightarrow \boxed{\omegaB=\dfrac{J0\omega0}{J0+mR^2}}$ 能量:$\frac12J0\omega0^2+mgR=\frac12(J0+mR^2)\omegaB^2+\frac12mvB’^2$ $$\boxed{vB’=\sqrt{\dfrac{J0\omega0^2R^2}{J_0+mR^2}+2gR}}$$
到 (轴上,下降 ): 角动量:$J0\omega0=J0\omegaC\Rightarrow \boxed{\omegaC=\omega0}$ 能量:$mg(2R)=\frac12mvC’^2\Rightarrow \boxed{vC’=2\sqrt{gR}}$
第五章 静电场
5-21 两均匀带电球重叠区的场
题目:两球均匀带电,体密度 、$-\rho$,球心位移 ,部分重叠,重叠区因正负中和而无净电荷。求重叠区电场。
【分析】 关键技巧是叠加原理:把重叠区看作 整球与 整球的叠加。均匀带电球内部场 ($\vec r$ 由该球心指向场点),两者相减时场点位置抵消,只剩与位置无关的常矢量,故重叠区是匀强场。
【解答】 $$\vec E=\frac{\rho}{3\varepsilon0}\vec r+ +\frac{-\rho}{3\varepsilon0}\vec r-=\frac{\rho}{3\varepsilon0}(\vec r+-\vec r-)=\frac{\rho}{3\varepsilon0}\vec{OO’}$$ 即重叠区为匀强电场: $$\boxed{E=\frac{\rho a}{3\varepsilon_0}},\quad \text{方向由正球心 }O\text{ 指向负球心 }O’.$$
5-22 带电球壳套同心带电球面
题目:内外半径 的均匀带电厚球壳带电 ,外面同心罩半径 的带电球面带电 ($R1<R2<R_3$)。求 并讨论其连续性。
【分析】 球对称,用高斯定理分区求解。$Q1$ 体分布在 $R1!\sim!R2$,相应体密度 $\rho=\dfrac{Q1}{\frac43\pi(R2^3-R1^3)}$。连续性:体电荷区边界 连续;面电荷处($R_3$)$E$ 发生跃变。
【解答】
- :$E=0$
- :$E=\dfrac{Q1(r^3-R1^3)}{4\pi\varepsilon0 r^2(R2^3-R_1^3)}$
- :$E=\dfrac{Q1}{4\pi\varepsilon0 r^2}$
- :$E=\dfrac{Q1+Q2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
连续性:在 处 连续;在 处因有面电荷 ,$E$ 不连续,跃变 。故 除 外处处连续。
5-23 无限长均匀带电圆柱的场
题目:半径 无限长圆柱,体密度 。求离轴 处 ,画 –$r$ 曲线。
【分析】 轴对称,取与轴同轴的高斯柱面(半径 、长 ),侧面 均匀且沿径向,上下底无通量。分 r<R$(含电荷正比 $r^2$)与 $r>R(含全部电荷)两区。
【解答】
- :$E\cdot2\pi rL=\dfrac{\rho\pi r^2L}{\varepsilon0}\Rightarrow \boxed{E=\dfrac{\rho r}{2\varepsilon0}}$(线性增大)
- :$E\cdot2\pi rL=\dfrac{\rho\pi R^2L}{\varepsilon0}\Rightarrow \boxed{E=\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon0 r}}$(按 衰减)
–$r$ 曲线:自 0 线性升至峰值 ($r=R$),随后按 下降。
5-32 无限长均匀带电圆柱的电势
题目:半径 无限长柱,体密度 ,取柱面($r=R$)为零电势。求 并画曲线。
【分析】 无限长带电体不能取无穷远为零电势(积分发散),故题目指定柱面为零势。先用 5-23 的 ,再由 分内外两段积分。
【解答】 内部 :$V(r)=-\displaystyle\intR^r\frac{\rho r’}{2\varepsilon0}\mathrm dr’=\boxed{\dfrac{\rho}{4\varepsilon0}(R^2-r^2)}$(中心最高 $\frac{\rho R^2}{4\varepsilon0}$)
外部 :$V(r)=-\displaystyle\intR^r\frac{\rho R^2}{2\varepsilon0 r’}\mathrm dr’=\boxed{\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}\ln\dfrac{R}{r}}$($r>R$ 为负)
曲线:$r\le R$ 为开口向下抛物线(顶点在轴心);$r=R$ 处为 0;$r>R$ 按对数下降。
第六章 静电场中的导体和电介质
6-12 同轴线(导线—圆筒)
题目:半径 长直导线外套内半径 同轴导体圆筒,相互绝缘。导线电势 ,圆筒接地(0)。求两者间 及圆筒电荷线密度。
【分析】 设导线线密度 ,由高斯定理得 间 。由电势差 反求 ,再代回得 。圆筒内表面由静电感应出 。
【解答】 $$V=\inta^b\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon0 r}\mathrm dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon0}\ln\frac ba\Rightarrow \lambda=\frac{2\pi\varepsilon0V}{\ln(b/a)}$$ $$\boxed{E=\frac{V}{r\ln(b/a)}\quad(a<r<b)}$$ 圆筒电荷线密度
6-22 五电容器网络
题目:$A$–$C$ 段为 ,$C$–$D$ 段为 ,$D$–$B$ 段为 。求:(1) ;(2) V 时各段电压。
【分析】 先并联后串联化简。串联各电容电荷相同,等于总电荷 ,各段电压 。
【解答】 并联:$C{AC}=12,\mu\text F,\ C{CD}=8,\mu\text F,\ C{DB}=24,\mu\text F$ (1) $\dfrac1{C{AB}}=\dfrac1{12}+\dfrac18+\dfrac1{24}=\dfrac14\Rightarrow \boxed{C{AB}=4,\mu\text F}$ (2) $Q=C{AB}U{AB}=48,\mu\text C$ $$U{AC}=\frac{48}{12}=4,\text V,\quad U{CD}=\frac{48}{8}=6,\text V,\quad U{DB}=\frac{48}{24}=2,\text V$$ (校核 V)
6-25 带电导体球外两层介质
题目:导体球 m,$Q=1.0\times10^{-8},$C。外层介质 、厚 m($0.10!\sim!0.20,$m),再外为空气。求 cm 处的 (1) 与 ;(2) 电势;(3) 极化电荷面密度。
【分析】 $D$ 只由自由电荷决定,用高斯定理 ($r>R$)即可,跨介质连续。$E=D/(\varepsilon0\varepsilonr)$,注意各区 不同。电势由 分段积分;导体内电势等于球面电势。极化电荷 ,$P=D(1-1/\varepsilonr)$,介质内外两表面分别计算,注意法线方向。取 $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon0}=90,\text{V·m}$。
【解答】 (1) 与
- cm(导体内):$D=0,\ E=0$
- cm(介质内):$D=\dfrac{Q}{4\pi r^2}=3.5\times10^{-8},\text{C/m}^2,\ E=\dfrac{D}{\varepsilon0\varepsilonr}\approx8.0\times10^2,\text{V/m}$
- cm(空气):$D=1.3\times10^{-8},\text{C/m}^2,\ E=\dfrac{D}{\varepsilon_0}\approx1.44\times10^3,\text{V/m}$
(2) 电势(介质中 ,空气中 )
- cm:$V=\dfrac{90}{0.25}=360,\text V$
- cm:$V=18!\left(\frac1{0.15}-\frac1{0.20}\right)+\dfrac{90}{0.20}=30+450=480,\text V$
- cm(=球面电势):$V=18!\left(\frac1{0.10}-\frac1{0.20}\right)+450=90+450=540,\text V$
(3) 极化电荷面密度
- 介质内表面 m:$D=7.96\times10^{-8}$,$\ \sigma’_{内}=-P=-6.4\times10^{-8},\text{C/m}^2$
- 介质外表面 m:$D=1.99\times10^{-8}$,$\ \sigma’_{外}=+P=+1.6\times10^{-8},\text{C/m}^2$
6-35 聚四氟乙烯薄膜电容器
题目:$C=0.50,\mu\text F$,介质为厚 mm 的聚四氟乙烯。求:(1) 额定电压;(2) 最大储能。
【分析】 额定电压由介质击穿场强 决定:$U{\max}=Eb d$。最大储能用 。聚四氟乙烯击穿场强取教材附表值 (若书上数值不同,按书替换,方法不变)。
【解答】 (1) (2)
第七章 恒定磁场
7-14 亥姆霍兹线圈
题目:两相同平行线圈半径 、电流 同向、间距 。证明 时连线中点附近为匀强磁场。
【分析】 两线圈轴上场叠加。要”均匀”,应使中点处场对位置的一、二阶导数都为零。以中点为原点,由对称性一阶导自动为零;令二阶导为零,解出条件 。
【解答】 单线圈轴上场 。设中点为原点,两线圈在 ,令 : $$B(x)=\frac{\mu0IR^2}{2}\big[f(x+\tfrac d2)+f(x-\tfrac d2)\big]$$ 一阶导在 处因 为奇函数而为零。二阶导: $$f’’(x)=3(R^2+x^2)^{-7/2}(4x^2-R^2)$$ $\left.\dfrac{\mathrm d^2B}{\mathrm dx^2}\right|0\propto f’’(\tfrac d2)\propto(d^2-R^2)$,令其为零得 。 此时一、二阶导均为零,中点附近场变化为高阶小量,可视为匀强场。中点场值 。
7-17 同轴电缆磁场分布
题目:内导体半径 载流 ,外导体($R2!\sim!R3$)载反向 ,电流均匀分布。求各区 并画 –$r$。
【分析】 轴对称,用安培环路定理 。分四区,注意均匀分布导体内”包围电流”按面积比例计算;外导体反向电流逐渐抵消内电流,$r>R_3$ 处净电流为零。
【解答】
- :$B=\dfrac{\mu0Ir}{2\pi R1^2}$
- :$B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$
- :$B=\dfrac{\mu0I(R3^2-r^2)}{2\pi r(R3^2-R2^2)}$
- :$B=0$
–$r$ 曲线:$[0,R1]$ 线性升至 $\frac{\mu0I}{2\pi R1}$;$[R1,R2]$ 按 降;$[R2,R_3]$ 降至 0;其后为 0。
7-21 无限大载流平面
题目:电流均匀流过无限大导电平面,电流面密度 。求平面两侧磁感强度。
【分析】 对称性:$B$ 平行平面、垂直电流方向,两侧大小相等、方向相反。取跨过平面的矩形环路(两条边平行 、长 ),用安培环路定理。
【解答】 $$\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l=2BL=\mu0jL\Rightarrow \boxed{B=\frac{\mu0j}{2}}$$ 两侧均为匀强磁场,大小 ,方向相反(均平行平面且垂直电流方向)。
7-37 长直导线对矩形回路的合力
题目:长直导线载 A,矩形回路载 A,近边离导线 cm,宽 cm,平行于导线的边长 m。求作用在回路上的合力。
【分析】 回路两条垂直于导线的边(长 )所受力等大反向、相互抵消。两条平行于导线的边处在不同距离($d$ 与 ),磁场不同、受力不等且方向相反,合力即二者之差。近边电流与 同向则受吸引,远边受排斥,净力指向导线。用 。
【解答】 $$F=\frac{\mu0I1I2l}{2\pi}\left(\frac1d-\frac1{d+b}\right)$$ $$=2\times10^{-7}\times600\times0.12\times\left(\frac1{0.01}-\frac1{0.09}\right)$$ $$=2\times10^{-7}\times600\times0.12\times88.9\approx\boxed{1.3\times10^{-3},\text N}$$ 方向:指向长直导线(近边与 $I1$ 同向受吸引占主导,故净力为吸引)。
第八章 电磁感应 电磁场
8-16 矩形线框落入磁场
题目:矩形框宽 、高 ,质量 、电阻 ,$t=0$ 从 上方 处静止下落。$y=0$ 上方无场,下方有匀强 (垂直纸面向里)。$t1$ 时下边到达 ,$t2$ 时全部进入。求三阶段 –$t$ 关系。
【分析】 分三段:① 入场前自由落体;② 部分入场,下边切割磁感线产生感应电动势 、感应电流引出安培阻力 (向上),列动力学方程为一阶线性微分方程,解得指数趋近收尾速度;③ 全部入场后磁通不变、无感应电流,恢复自由落体。三段在 处速度连续衔接。
【解答】 ① :$\boxed{v=gt}$,且 。
② :$m\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mg-\dfrac{B^2l^2}{R}v$,解得 $$\boxed{v=\frac{mgR}{B^2l^2}+\left(\sqrt{2gh}-\frac{mgR}{B^2l^2}\right)e^{-\frac{B^2l^2}{mR}(t-t_1)}}$$
③ :磁通不变、无电流, $$\boxed{v=v2+g(t-t2)}$$ 其中 为②式在 之值。
8-18 长直螺线管的感生电场
题目:$R=2.0,$cm 无限长密绕螺线管,管内匀强 、管外≈0,$\frac{\mathrm dB}{\mathrm dt}=$ 常量 。求:(1) 管内外感生电场分布;(2) T/s 时 cm 处感生电场大小和方向。
【分析】 变化磁场激发涡旋电场,由对称性其电场线为同心圆。用 ,取半径 的圆为环路。内部所围磁通正比 ,外部所围磁通恒为 (管外无场)。
【解答】 (1)
- :$E\cdot2\pi r=-\pi r^2\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}\Rightarrow \boxed{E=\dfrac r2\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}}$
- :$E\cdot2\pi r=-\pi R^2\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}\Rightarrow \boxed{E=\dfrac{R^2}{2r}\dfrac{\mathrm dB}{\mathrm dt}}$
(2) : $$E=\frac{(0.02)^2}{2\times0.05}\times0.010=\boxed{4.0\times10^{-5},\text{V/m}}$$ 方向:$B$ 向里且增大,由楞次定律感生电场沿逆时针(与该处圆相切)。
8-21 双介质芯螺线管的自感
题目:管心为两同轴圆柱,截面 ,磁导率 ,管长 、匝数 (截面很小)。求自感 。
【分析】 管内 (由安培环路定理,$H$ 只由自由电流定,两介质中相同)。两介质中 不同,每匝磁通为两部分之和,磁链 ,$L=\Psi/I$。
【解答】 $H=\dfrac{NI}{l},\quad B1=\mu1\dfrac{NI}{l},\quad B2=\mu2\dfrac{NI}{l}$ 每匝磁通 $$L=\frac{N\Phi}{I}=\boxed{\frac{N^2(\mu1S1+\mu2S2)}{l}}$$
8-23 同筒两相同线圈的串联自感
题目:同一柱筒上绕两组相同线圈 、$A’B’$,各自自感 (视为全耦合,$M=L$)。求:(1) 接 时 –$B’$ 间自感 ;(2) 接 时 –$B’$ 间自感 。
【分析】 两线圈共筒、绕向相同,全耦合 。串联总自感 :磁通相助取 、相消取 。按电流流过两线圈时产生的磁通是否同向判断符号。
- 接 (首—首相接):电流在两线圈中绕向相反 → 磁通相消;
- 接 (首—尾相接):绕向相同 → 磁通相助。
【解答】 (1) (2)
附:本批已覆盖清单
| 章 | 已完成题号 |
|---|---|
| 第一章 | 1-8、1-23、1-24、1-26 |
| 第二章 | 2-12、2-14、2-21、2-24 |
| 第三章 | 3-21、3-25、3-29、3-36 |
| 第四章 | 4-22、4-28、4-32、4-37 |
| 第五章 | 5-21、5-22、5-23、5-32 |
| 第六章 | 6-12、6-22、6-25、6-35 |
| 第七章 | 7-14、7-17、7-21、7-37 |
| 第八章 | 8-16、8-18、8-21、8-23 |
清单中 32 道题已全部完成。